Was es heisst, ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal … denken oder setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begriffes der Setzung (Position) nicht definirt werden. Eine absolute, ganze Zahl $1, 2, 3\ldots$ sagt aus, es solle ein Object $1, 2, 3\ldots$ mal gesetzt werden, und es bedeutet $1e, 2e, 3e\ldots$, das Resultat der wiederholten Position von $e$. Jenes Object, welches willkührlich bleibt, kann Einheit genannt und an seine Stelle die absolute, numerische Einheit gesetzt werden, die man mit 1 bezeichnet. Man setzt dann $1 \cdot 1, 2 \cdot 1, 3 \cdot 1\ldots$ einfach gleich $1, 2, 3,\ldots$ und drückt so durch die Zahlzeichen zwei verschiedene, wenn auch nahe verwandte Begriffe aus. In der ersten Beziehung sind $1, 2, 3,\ldots$ Cardinalzahlen, indem sie das wie oft der Position bezeichnen und eine Forderung enthalten, in der zweiten sind sie Ordinalzahlen, welche die Stelle einer gewissen Vielheit in der geordneten Zahlenreihe und das Resultat der Verknüpfung von Einheiten bezeichnen. Entsprechend diesen beiden Bedeutungen gibt es zwei Verknüpfungsweisen der Zahlen.

What it means to think or posit an object 1 time, 2 times, 3 times… cannot be defined upon the concept of positing (Position) in its fundamental simplicity. An absolute, whole number $1, 2, 3\ldots$ expresses that an object should be posited $1, 2, 3\ldots$ times, and it means $1e, 2e, 3e\ldots$, the result of the repeated positing of $e$. That object, which remains arbitrary, can be called a unit and the absolute numerical unit can be posited in its place, which is signified with 1. One then simply sets $1 \cdot 1, 2 \cdot 1, 3 \cdot 1\ldots$ equal to $1, 2, 3\ldots$ and expresses thus with the number signs two distinct, though closely related, concepts. In the first relation, $1, 2, 3\ldots$ are cardinal numbers, in that they signify the how often of the positing and contain a postulate; in the second, they are ordinal numbers, which signify the position of a certain plurality in the ordered number series and the result of the conjoining of units. Corresponding to these two meanings there are two ways of conjoining numbers.

Addition. Denkt man sich die numerische Einheit $a$ mal, dann $b$ mal gesetzt, und fasst diese Setzungen in eins zusammen, so nennt man das Resultat die Summe der einzelnen Setzungen $(a + b)$. Die Addition zweier Zahlen besteht in demselben Processe, der zu ihrer Erzeugung selbst geführt hat und man sieht, dass die Summe und damit auch das zu ihrer Bezeichnung angewandte Symbol $+$ den beiden Hauptgesetzen: $$a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$$ $$a + b = b + a$$ unterliegen, von denen das erste als das der Associativität, das zweite als das der Commutativität bezeichnet wird. Die Addition ist eine eindeutige Operation, d. h. das Resultat der Addition $(a + b)$ ist ein bestimmtes; sie hat ferner die Eigenschaft, dass wenn ein Summand seinen Werth ändert, während der andere constant bleibt, dann sich jedesmal das Resultat der Operation ändert. Die hier angegebenen Eigenschaften der Addition sind ausreichend, um aus ihnen alle weiteren Folgerungen über Summenbildung abzuleiten, ohne dass man sich jemals dabei der realen Bedeutung der Addition erinnern müsste. Sie bilden insofern das System der Bedingungen, welche nöthig und ausreichend sind, um die Operation formal zu definiren.

Addition. If one thinks of the numerical unit posited $a$ times, then $b$ times, and combines these positings together into one, then the result is called the sum of the individual positings $(a+b)$. The addition of two numbers consists in the same process which led to the generation of the numbers themselves, and one sees that the the sum and also the the symbol $+$ used to signify it is governed by two main laws $$a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$$ $$a + b = b + a$$ the first of which is designated that of associativity, the second that of commutativity. Addition is a one-valued operation, i.e., the result of addition $(a+b)$ is a determinate one; it further has the property that if one summand changes its value while the other remains constant, then the result of the operation always changes. The properties of addition specified here are sufficient to derive all further consequences about sums, without ever needing to remind oneself of the real meaning of addition in doing so. In this sense they form the system of conditions which are necessary and sufficient to formally define the operation.

Multiplication. Die Multiplication besteht in der Verknüpfung einer Ordinalzahl $b$ mit einer Cardinalzahl $a$ und verlangt, dass $b$ $a$ mal genommen werden soll. Das Resultat dieser Operation, das Product $a \cdot b$ kann auch als diejenige Zahl angesehen werden, welche aus $b$ auf dieselbe Weise hervorgeht, wie $a$ aus der numerischen Einheit. Bilden wir jetzt ein Product durch $b$ maliges Vervielfachen der Ordinalzahl $a$, so ist es keineswegs selbstverständlich, sondern bedarf eines Beweises, dass $$a \cdot b = b \cdot a$$ also das commutative Gesetz gilt. Dieser Beweis kann durch eine im Grunde geometrische Construction in einer Ebene ebenso leicht geführt werden*), als im Raume der Beweis für das associative Gesetz: $$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$ wobei man darauf achten mag, dass bald von dem ordinalen, bald von dem cardinalen Begriffe der Zahl Gebrauch gemacht wird.

Multiplication. Multiplication consists in the conjoining of an ordinal number $b$ with a cardinal number $a$ and requires that $b$ should be taken $a$ times. The result of this operation, the product $a\cdot b$, can also be seen as that number which arises out of $b$ in the same way that $a$ arises out of the numerical unit. If we now form a product via a $b$-many reproduction of the ordinal number $a$, then it is in no way obvious, but rather requires a proof, that $$a \cdot b = b \cdot a$$ that is, that the commutative law is valid. This proof can be carried out just as easily through a fundamentally geometrical construction in a plane*) as the proof in space for the associative law: $$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$ though it might be noted that use is soon made here of the ordinal and of the cardinal concept of number.

Die Multiplication hängt ihrem Begriff nach mit der Addition eng zusammen, denn es ist allgemein: $$(b+c)a = ba + ca, a(b+c) = ab + ac;$$ — eine Eigenschaft, welche man die distributive**) nennt. Fügen wir noch hinzu, dass $1a = a$ ist und die Multiplication hinsichtlich der Eindeutigkeit ebenso beschaffen ist wie die Addition, so hat man ihre fundamentalen Eigenschaften erschöpft, und mit diesen zugleich ihre formale Definition gegeben.

Multiplication is, in its concept, closely associated with addition, for it is generally so that: $$(b+c)a = ba + ca, a(b+c) = ab + ac;$$ — which one calls the distributive**) property. If we add to this that $1a = a$ and that multiplication is constituted in the same way as addition with respect to one-valuedness, then one has thus exhausted their fundamental properties, and with these at the same time given their formal definition.

Potenzirung. Die Potenzirung ist eine Operation, welche aus der Multiplication ebenso hervorgeht, wie diese aus der Addition. Unter $a^b$ versteht man den Factor $a$, $b$ mal gesetzt. Was die Gesetze dieser Operation betrifft, so findet das commutative Princip nicht statt, denn $a^b$ ist von $b^a$ im Allgemeinen verschieden; auch das associative Gesetz nicht, denn es ist $$a^(b^c) \mbox{ von } (a^b)^c$$ verschieden. Es ist aber $$(a)^{bc} = (a^b)^c$$ $$(bc)^a = b^a c^a$$ $$a^{b+c} = a^b a^c$$ und diese Gleichungen repräsentiren das distributive Princip bei dieser Operation.

Exponentiation. Exponentiation is an operation which arises in the same way out of multiplication as the latter does out of addition. By $a^b$ one understands the factor $a$ posited $b$ times. With regard to the laws of this operation, the commutative principle does not hold, for $a^b$ is in general distinct from $b^a$; likewise the associative law does not hold, for $$a^(b^c) \mbox{ is distinct from } (a^b)^c$$ It is however the case that $$(a)^{bc} = (a^b)^c$$ $$(bc)^a = b^a c^a$$ $$a^{b+c} = a^b a^c$$ and these equations represent the distributive principle for this operation.

Die Wiederholung der Potenzirung liefert wieder eine neue Operation. Nimmt man nämlich zunächst $a$ welches auch mit $a_1$ bezeichnet werden kann, und erhebt es auf die $a_1$te Potenz, so erhält man $a^a$, welches etwa als $a_2$ bezeichnet werden möge. Erhebt man dann $a$ auf die $a_2$te Potenz und nennt das Resultat $a_3$, so dass $$a_3 = a^{a_2} = a^{(a^a)}$$ $$a_4 = a^{a_3} = a^{(a^{(a^a)})}$$ $$. . . . . .$$ so erhält man allgemein $a_b$ als eine neue Operation, deren weitere Untersuchung sich indess bis jetzt in der Wissenschaft nicht als nothwendig erwiesen hat.

Repetition of exponentiation once again delivers a new operation. If one takes $a$, which can also be designated $a_1$, and raises it to the $a_1$th power, $a^a$ results, which may be designated $a_2$. If one then raises $a$ to the $a_2$th power and calls the result $a_3$, so that $$a_3 = a^{a_2} = a^{(a^a)}$$ $$a_4 = a^{a_3} = a^{(a^{(a^a)})}$$ $$. . . . . .$$ one obtains generally $a_b$ as a new operation, the further investigation of which has, however, up to now not proven necessary in science.

Die vorstehenden Operationen nenne ich thetische im Gegensatze zu den lytischen, welche durch Umkehrung aus ihnen hervorgehen.

…

Subtraction. Negative Zahlen. In einer Gleichung $a + b = c$ war bisher die Summe $c$ aus den beiden als bekannt vorausgesetzten Gliedern $a, b$ abgeleitet. Man kann jetzt fragen, welchen Werth muss $x$ haben, damit $x + b = c$. Nach den oben bemerkten Eigenschaften der Summe gibt es nur Einen Werth von x, für welchen $x + b = c$, und den man mit $x = c - b$ bezeichnet.

…

Die Operation, welche $x$ aus $x + b = c$ finden lehrt, heisst Subtraction, und ist keine andere, wenn man $b + x = c$ als die aufzulösende Gleichung ansieht.

…

Man hat hienach die Identität oder die zur Definition des Zeichen $-$ dienende Gleichung $$(c - b) + b = c$$ und kann alle bekannten Rechnungsregeln, welche sich auf die additive und subtractive Verbindung von Zahlen beziehen, mit Hülfe dieser Gleichung und der angegebenen Eigenschaften der Addition ableiten.

…

Es liegt auf der Hand, dass es, wenn $b > c$ ist, keine Zahl $x$ in der Reihe $1, 2, 3\ldots$ gibt, welche die betreffende Aufgabe löst: die Subtraction is dann unmöglich. Nichts hindert uns jedoch, dass wir in diesem Falle die Differenz $c - b$ als ein Zeichen ansehen, welches die Aufgabe löst und mit welchem genau so zu operiren ist, als wenn es eine numerische Zahl aus der Reihe $1, 2, 3\ldots$ wäre.

It is immediate that, if $b > c$, there is no number in the series $1, 2, 3\ldots$ which solves the problem given: the subtraction is then impossible. Nothing hinders us, however, from looking at the difference $c - b$ in this case as a sign which solves the problem and with which one can operate exactly as if it were a number from the series $1, 2, 3\ldots$.

Die der Variabilität von $b$ und $c$ wegen scheinbar doppelte Reihe von Zahlen, welche so entsteht, kann leicht auf eine einfache zurückgeführt werden: denkt man sich eine Zahl $0$, welche die Eigenschaft hat, dass $a + 0 = a$ sei, was auch $a$ bedeute, so hat man $a - a = 0$, und schreibt man nun statt $0 - a$ einfach $-a$, so kann $c - b = -a$ gesetzt werden.

…

Indem wir so neue negative Zahlen einführen, welche sich durch die Vorsetzung des $-$, von den bisher allein betrachteten, durch Position eines Objectes entstandenen, positiven Zahlen unterscheiden, müssen wir offenbar den Begriff der Zahl, wie er oben gefasst wurde, erweitern. Es kann dies etwa geschehen, indem wir eine Zahl definiren als das Zeichen der Forderung einer Operation, welche an einem irgend welchen Objecte vorzunehmen ist und zugleich als das aus der Erfüllung jener Forderung Resultirende, wenn jenes Object durch die numerische Einheit ersetzt wird. So bedeutet 3 oder $+3$ die 3 malige Position eines Objectes, 0 die absolute Aufhebung der Position, die man etwa sich so hergestellt denken kann, dass man ein Object zunächst 1 mal setzt und dann diese Setzung wieder aufhebt, so dass 0 kein Object dieser Art bezeichnet. Man sieht aber nicht, wie unter $-3$ eine reale Substanz verstanden werden kann, wenn das ursprünglich gesetzte Object eine solche ist, und würde im Rechte sein, wenn man $-3$ als eine nicht reelle, imaginäre Zahl als eine falsche bezeichnete. Positive und negative Zahlen können nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich zu stellen ist. Genau besehen, findet diese Vorausssetzung nur da Statt, wo nicht Substanzen (für sich denkbare Gegenstände) sondern Relationen zwischen je zweien Gegenständen das Gezählte sind. Postulirt wird dabei, dass diese Gegenstände auf eine bestimmte Art in eine Reihe geordnet sind, z. B. $A$, $B$, $C$, $D$…, und dass die Relation des $A$ zu $B$ als der Relation des $B$ zu $C$ u. s. w., gleich betrachtet werden kann. Hier gehört nun zu dem Begriff der Entgegensetzung nichts weiter als der Umtausch der Glieder der Relation, so dass wenn die Relation (oder der Uebergang von $A$ zu $B$) als $+1$ gilt, die Relation von $B$ zu $A$ als $-1$ dargestellt werden muss. Insofern also eine solche Reihe auf beiden Seiten unbegrenzt ist, repräsentirt jede reelle ganze Zahl die Relation eines beliebig als Anfang gewählten Gliedes zu einem bestimmten Gliede der Reihe.*) So sieht man, dass die Operation, als deren Ausdruck wir vorhin eine Zahl ansahen, darin besteht, zwei Objecte (Substanzen) unter einander in Beziehung zu setzen und obige Erklärung der Zahl wird daher jetzt so gefasst werden können:

In introducing such new negative numbers, which are distinguished through the prefixing of $-$ from the positive numbers, which arise through the positing of an object and which up to now we have considered alone, we must clearly extend the concept of number as it was understood above. This can for example take place by defining a number as the sign of the postulation of an operation which is to be carried out on any arbitrary object and at the same time as that resulting from the fulfillment of that postulate when that object is replaced with the numerical unit. Thus 3 or $+3$ means the positing of an object three times, 0 the absolute cancellation of this positing, which can be thought of as produced like: one first places an object 1 time and then cancels this placing, so that 0 signifies no object of this type. One cannot however see how a real substance can be understood by $-3$, if the originally placed object is such an object, and would be within his rights if he were to designate $-3$ as a non-real, imaginary number, as a false one. Positive and negative numbers can only find an application where what is numbered has an inverse which, when imagined unified with it, is to be set equal to its cancellation. Looked at precisely, this condition only takes place where what is numbered are not substances (objects thinkable for themselves), but rather relations between pairs of objects. In that case it is postulated that these objects are ordered in a series in a certain way, e.g. $A$, $B$, $C$, $D$…, and that the relation of $A$ to $B$ can be considered the same as the relation of $B$ to $C$, etc. Nothing more belongs here to the concept of inverse than the exchange of the members of the relation, so that when the relation (or the passage from $A$ to $B$) is taken to be $+1$, the relation from $B$ to $A$ must be depicted as $-1$. Insofar as such a series is unlimited on both sides, every whole real number represents the relation of one member, arbitrarily chosen as the starting point, to a certain other member of the series.*) Thus one sees that the operation, whose expression we earlier looked at as a number, can be understood as putting two objects (substances) in relation to each other, and the above explanation of number thus becomes:

Die Zahl ist der begriffliche Ausdruck der gegenseitigen Beziehung zweier Objecte, soweit dieselbe quantitativen Messungen zugänglich ist.

Number is the conceptual expression of the mutual relation of two objects, so far as this relation is accessible to quantitative measurements.

Die eigentlich quantitativen Resultaten solcher Messungen finden ihre Darstellung überall in den absoluten ganzen Zahlen; wenn aber eine Zahl so beschaffen ist, dass sie mehrere solche absolute Zahlen als Elemente enthält, so heisst sie eine zusammengesetzte oder complexe Zahl, die durch ihre Zusammensetzung zugleich angibt, in welcher Weise diese quantitativen Verhältnisse an den Objecten und ihrer Relation zur Erscheinung kommen.

The actually quantitative results of such measurements find their representation everywhere in the absolute whole numbers; but if a number is so constituted that it contains several such absolute numbers as elements, it is called a compound or complex number, which by its composition at the same time specifies the way these quantitative relationships make their appearance in the objects and in their relation.

Will man die häufig gestellte Frage beantworten, ob eine gewisse Zahl möglich oder unmöglich sei, so muss man sich zunächst über den eigentlichen Sinn dieser Frage klar werden. Ein Ding, eine Substanz, die selbständig ausserhalb des denkenden Subjectes und der sie veranlassenden Objecte existirte, ein selbständiges Princip, wie etwa bei den Pythagoreern, ist die Zahl heute nicht mehr. Die Frage von der Existenz kann daher nur auf das denkende Subject oder die gedachten Objecte, deren Beziehungen die Zahlen darstellen, bezogen werden. Als unmöglich gilt dem Mathematiker streng genommen nur das, was logisch unmöglich ist, d.h. sich selbst widerspricht. Dass in diesem Sinne unmögliche Zahlen nicht zugelassen werden können, bedarf keines Beweises. Sind aber die betreffenden Zahlen logisch möglich, ihr Begriff klar und bestimmt definirt und also ohne Widerspruch, so kann jene Frage nur darauf hinaus kommen, ob es im Gebiete des Realen oder des in der Anschauung Wirklichen, des Actuellen ein Substrat derselben, ob es Objecte gebe, an welchen die Zahlen, also die intellectuellen Beziehungen der bestimmten Art zur Erscheinung kommen. In diesem Sinne konnte man, wenn hier ein im Folgenden weiter zu erläuterndes Beispiel anticipirt wird, die aus $\sqrt{1}$ zusammengesetzten Zahlen solange unmögliche nennen, als man keinerlei anschauliche Darstellung derselben kannte, und gibt es noch heute Zahlen dieser Art. Nachdem aber die Zahlen $a + b\sqrt{-1}$ eine geometrische Darstellung gefunden haben, und ihre Operationen geometrisch gedeutet worden sind, kann man in keiner Weise dieselben als unmögliche bezeichnen; sie sind ganz von derselben Realität als die positiven und negativen Zahlen, wenn auch letztere zahlreichere Substrate in der Anschauung finden, und in vielen Fällen im Wirklichen dargestellt oder möglich gemacht werden können, wo die in der Zahl $a + b\sqrt{-1}$ ausgesprochene Beziehung nicht realisirt werden kann.

If one wants to answer the frequently put question of whether a certain number is possible or impossible, one must first get clear about the actual sense of this question. Number today is no longer a thing, a substance, which exists independently apart from the thinking subject and from the objects which give rise to it, an independent principle such as the Pythagoreans considered. The question of existence can therefore only be related to the thinking subject or to the objects thought, whose relations the numbers present. The mathematician counts as impossible in the strict sense only what is logically impossible, i.e., what is self-contradictory. That numbers which are impossible in this sense cannot be admitted needs no proof. If however the numbers under consideration are logically possible, their concept clear and determinately defined and thus without contradiction, that question can only come to this: whether there is in the domain of the real or of the actual in intuition, of the Actual, a substrate for them; whether there are objects in which the numbers, i.e. intellectual relations of a certain sort, make their appearance. In this sense, to anticipate an example to be elaborated in what follows, one was once able to call the numbers combined from $\sqrt{-1}$ impossible, so long as no intuitive representation of them was known, and there are still numbers of this sort today. But after the numbers $a + b\sqrt{-1}$ have found a geometric representation, and their operations have been geometrically interpreted, one can in no way call them impossible; they have exactly the same reality as the positive and negative numbers, even if the latter find several substrates in intuition, and in many cases can be presented in reality, or made possible, where the relation expressed in the number $a + b\sqrt{-1}$ cannot be realized.

Um aller Unklarheit der Begriffe, die so leicht aus der Unbestimmtheit der Benennung hervorgeht, zu entgehen, wird man gut thun, solche Zahlen, deren Begriff ein vollkommen bestimmter ist, die aber einer irgend welchen Construction in der Anschauung nicht fähig sind, transcendente, rein mentale, rein intellectuelle oder rein formale zu nennen im Gegensatz zu den actuellen*) Zahlen, welche in der Lehre von den wirklichen Grössen und ihrer Verknüpfung ihre Repräsentation finden. Solche Zahlen, welche zwischen beiden in der Mitte stehen, von denen man eine vollständige Definition geben, aber im Allgemeinen und von vornherein nicht wissen kann, ob sie einer anschaulichen Darstellung unterzogen werden können, mag man potentielle nennen, insofern sie zu actuellen gemacht werden können, oder intellectuelle, mentale, insofern sie zunächst nur gedacht aber nicht angeschaut werden sollen, oder formale schlechthin, insofern in ihnen nur eine gewisse formale Beziehung zum Ausdrucke kommt. Dass dieser Gegensatz zwischen den transscendenten und actuellen Zahlen in seiner Vermittelung durch die formalen Zahlen, kein starrer, sondern ein fliessender ist, wird sich im Folgenden klar genug herausstellen.

To avoid all unclarity of the concepts, which so easily arises from the indeterminateness of application, one does well to call such numbers — the concept of which is completely determinate, but which are not capable of any construction in intuition — transcendent, purely mental, purely intellectual or purely formal, in contrast to the Actual*) numbers which find their representation in the theory of actual magnitudes and their combination. Those numbers which stand in the middle between these two, of which one can give a complete definition, but cannot know in general and in advance whether they can be subjected to an intuitive presentation, one might call ‘potential’, insofar as they can be made Actual, or purely intellectual, mental, insofar as they can at first only be thought, but not intuited, or simply formal, insofar as only a certain formal relation comes to expression in them. That this opposition between the transcendent and Actual numbers in its mediation through the formal numbers is not a fixed one, but rather meandering, will be shown clearly enough in the following.

Division und gebrochene Zahlen. Die Lysis der multiplicativen Thesis, die Division schliesst die Reihe der arithmetischen Fundamentaloperationen, der 4 Species, zu der wir die Addition, Subtraction, Multiplication, Division zählen, ab. Die Anwendung dieser 4 Species auf irgend welche Zahlen nennt man rechnen.

Division and fractional numbers. The lysis of the multipicative thesis, division completes the series of the four fundamental arithmetical operations, the 4 species^A, to which we count addition, subtraction, multiplication, and division. The application of these 4 species to arbitrary numbers is called calculation.

Die Division besteht in der Aufgabe, aus einer Gleichung $$x \cdot a = b$$ das $x$ zu bestimmen, wenn $a, b$ ganze Zahlen sind. Es leuchtet ein, dass es nicht immer möglich ist, das $x$, sowie es bis jetzt zulässig ist, als ganze Zahl zu bestimmen. Soll also die Division unter jeder Bedingung möglich gemacht werden, so müssen wir unser Zahlengebiet erweitern und in dasselbe neue Zahlen aufnehmen, welche durch: $$x = \frac{b}{a}$$ bezeichnet werden, so dass $$\frac{b}{a} a = b$$ ihre Definition enthält. Letztere Verknüpfung aber, durch welche diese Zeichen einer zunächst unausführbaren Operation definirt werden, die Multiplication, verliert ganz ihre früher festgesetzte Bedeutung der wiederholten Setzung einer gewissen Reihe von Einheiten, wenn $x$ keine ganze Zahl ist. Was also ist die Bedeutung der letzten Gleichung?

Division consists in the problem of determining the $x$ out of an equation $$x \cdot a = b$$ if $a, b$ are whole numbers. It is manifest that it is not always possible to determine the $x$, as has been admissible so far, as a whole number. So if division should be made possible under every condition, then we must extend our domain of numbers and accept new numbers into it which are designated by $$x = \frac{b}{a}$$ so that $$\frac{b}{a} a = b$$ contains their definition. The latter operation, however, through which these signs of an operation which at first cannot be carried out are defined, multiplication, now loses entirely the meaning earlier laid down of repeated positing of a certain series of units, when $x$ is not a whole number. What, then, is the meaning of the latter equation?

Diesen gebrochenen Zahlen, welche zunächst als reine Zeichen auftreten, kann in vielen Fällen eine actuelle Bedeutung beigelegt werden. Denkt man sich nämlich die Einheit $+1$ als in $a$ Theile zerlegbar, deren einer $\frac{1}{a}$ ist, so kann der reale Begriff der Multiplication, wie er früher für ganze Zahlen, d. h. für wirkliche gesetzte Objecte gegeben war, auf diese neuen Objecte auch angewandt werden und man kann unter $$b \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$$ den $b$ mal gesetzten Theil $\frac{1}{a}$ verstehen. Dadurch ist die Bedeutung von $\frac{1}{a} b$ noch nicht bestimmt, und wird es erst, wenn wir unter einer solchen Multiplication von $\frac{1}{a}$ in $b$ die Operation verstehen, durch welche $b$ in $a$ Theile zerlegt wird; dann wird in der Anschauung der Beweis geliefert werden können, dass $$\frac{1}{a} \cdot b = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$$ und daher das commutative Princip gilt. Dabei ist aber zu bemerken, dass eine neue Definition der Multiplication in letzterem Falle ausdrücklich gegeben werden musste und so gewählt würde, dass dieselben Gesetze, wie zuvor für ganze Zahlen, auch bei der Multiplication von Brüchen gelten. Die gebrochenen Zahlen, weil ihnen an solchen Substanzen oder Relationen, welche einer wirklichen Theilung fähig sind, eben diese Theile entsprechen, sind von Alters her als reale bezeichnet worden, obgleich es unzählig viele Dinge (Individuen) gibt, welche eine Theilung ihrem Begriffe nach gar nicht zulassen.

To these fractional numbers, which appear at first as pure signs, can be attached in many cases an Actual meaning. If one thinks the unit $+1$ as divisible into $a$ parts, of which one is $\frac{1}{a}$, then the real concept of multiplication, as it was given earlier for whole numbers, i.e. for actual posited objects, can also be applied to these new objects, and one can understand by $$b \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$$ the part $\frac{1}{a}$ posited $b$ times. The meaning of $\frac{1}{a} b$ is not however not determined by this, and will only be determined if we understand by such a multiplication of $\frac{1}{a}$ in $b$ that operation through which $b$ is divided in $a$ parts; then the proof can be delivered in intuition that $$\frac{1}{a} \cdot b = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$$ and thus the commutative principle is valid. Here is must be remarked that a new definition of multiplication in the latter case had to be explicitly given and was so chosen that the same laws are valid for the multiplication of fractional numbers as earlier for whole numbers. The fractional numbers, because these parts correspond to them in such substances or relations which are capable of an actual division, have since antiquity been referred to as real, although there are innumerable things which according to their concept do not admit of a division at all.

Eben dieser Umstand, der in ganz gleicher Weise den Begriff des Negativen gefährdet, insofern jener umkehrbare Gegensatz nicht in allen physischen Grössengebieten vorhanden ist, weist zur Genüge daraufhin, dass der Gesichtspunkt, aus dem wir bisher die negativen und gebrochenen Zahlen betrachtet haben, nicht der einer reinen Theorie ist, welche von dem Inhalte der zu verknüpfenden Objecte unabhängig ist. Jene eines wirklichen Gegensatzes fähigen Relationen, diese wirklichen Theile eines theilbaren Objectes sind nur gewissen Verhältnissen entsprechende concrete Bilder, deren Existenz auf zufälligen, aus der specifischen Natur des bestimmten Concreten hervorgehenden Bedingungen beruht. Jene allgemeinen formalen Verhältnisse, deren Möglichkeit von der Beschränktheit unserer empirischen Anschauungen unabhängig ist, und die man, insofern sie die Bedingung der Möglichkeit realer Verhältnisse einschliessen, transscendentale oder potentielle nennen kann, werden auch nicht an realen Objecten, sondern an intellectuellen oder an Relationen solcher betrachtet werden müssen, wenn wir uns von der Zufälligkeit des Wirklichen befreien wollen. Die Bedingung zur Aufstellung einer allgemeinen Arithmetik ist daher eine von aller Anschauung losgelöste, rein intellectuelle Mathematik, eine reine Formenlehre, in welcher nicht Quanta oder ihre Bilder, die Zahlen verknüpft werden, sondern intellectuelle Objecte, Gedankendinge, denen actuelle Objecte oder Relationen solcher entsprechen können, aber nicht müssen.

Just this circumstance, which endangers the concept of the negative in exactly the same way, in that that reversible opposition is not present in all domains of physical magnitudes, provides sufficient evidence that the perspective from which we have so far considered the negative and fractional numbers is not one of pure theory which is independent of the content of the objects to be conjoined. Those relations capable of a real opposition, these real parts of a divisible object, are only concrete images corresponding to certain relations, whose existence is based on accidental conditions resulting from the specific nature of the determinate concrete thing. Those general formal relations whose possibility is independent of the limitations of our empirical intuition, and which one can call transcendental or potential insofar as they include the condition of the possibility of real relations, will need to be considered not in real objects, but rather in relations of such objects, if we want to free ourselves from the contingency of the real. The condition for the establishment of a general arithmetic is therefore a purely intellectual mathematics detached from all intuition, a pure theory of form, in which not quantities^A or their images, the numbers, are conjoined, but rather intellectual objects, thought-things, to which Actual objects or relations of such objects can, but need not correspond.

Es seien $a$, $b$, $c$… irgend welche in der Anschauung vorhandene oder mentale Objecte oder Relationen von Objecten, so kann man sich etwa $a$ und $b$ auf irgend eine Weise rein begrifflich und formal miteinander verknüpft denken und als Resultat der Verknüpfung ein neues Object oder eine neue Relation $c$ ansehen, welche, weil sie in allen weiteren Schlüssen an Stelle der beiden Glieder $a$, $b$, insofern sie verknüpft sind, treten kann, gleich der Verknüpfung genannt werden soll. Geschieht jene Verknüpfung auf gesetzmässige Weise, und unterliegt sie gewissen Regeln, so übersieht man von vornherein, dass zwischen den Resultaten verschiedener Verknüpfungen neue Beziehungen stattfinden können, welche die Folgen der ursprünglich gesetzten sind, und aus letzteren durch logische Schlüsse abgeleitet werden können, die von der Natur der verknüpften Objecte gänzlich unabhängig sind. Wie wir die Regeln der rein formalen Verknüpfungen, d.h. der mit den mentalen Objecten vorzunehmenden Operationen definiren, steht in unserer Willkühr, nur muss eine Bedingung als wesentlich festgehalten werden: nämlich dass irgend welche logische Widersprüche in denselben nicht implicirt sein dürfen. Um überzeugt sein zu können, dass bei keiner irgend welchen Zusammensetzung der Verknüpfungen ein solcher Widerspruch auftreten kann, werden wir die Regeln selbst so unabhängig von einander halten müssen, dass keine in die andere übergreift: wir werden uns auf die absolut zureichenden beschränken müssen.

If $a$, $b$, $c$… are objects or relations of objects which are mental or available in intuition, one can think for instance $a$ and $b$ conjoined in some way purely conceptually and formally with one another and regard a new object or new relation $c$ as the result of this operation, which, because it in all further conclusions can take the place of the two members $a$, $b$ insofar as they are conjoined, should be called equal to the conjunction. If this conjoining happens in a law-like way and is subject to certain rules, then one sees from the beginning that between the results of different operations new relations can take place which are the consequences of those originally posited, and can be derived from the latter via logical inferences which are completely independent of the nature of the objects conjoined. How we define the rules of purely formal operations, i.e., of carrying out operations with mental objects, is our arbitrary choice, except that one essential condition must be adhered to: namely that no logical contradiction may be implicated in these same rules. In order to be convinced that such a contradiction cannot arise from any combination of these operations, we will have to keep the rules independent of each other in such a way that no rule interferes with another: we will have to limit ourselves to the absolute minimum that suffices.

Es ist klar, dass ein System von solchen mentalen Operationen aufgestellt werden kann, in welchem die Objecte und die Operationen, welchen sie unterworfen sind, ausreichend und nicht mehr als ausreichend definirt sind, welches aber, da es ohne Rücksicht auf irgend subordinirte actuelle Beziehungen aufgestellt ist, ohne jede Interpretation seiner Resultate, und ohne Anwendung, ein leeres bleibt. Um daher nicht ins Abstruse zu verfallen, werden wir die Operationen mit mentalen Objecten solchen formalen Regeln unterwerfen, dass sie die actuellen Operationen an anschaulichen Objecten und den deren Verhältnisse ausdrückenden Zahlen als untergeordnete in sich enthalten können. Die gemeine Arithmetik, die wesentlich mit einfachen gleichartigen Grössen operirt, und sich als arithmetica numerosa der concreten Zahlzeichen oder auch als arithmetica universalis oder speciosa concret allgemeiner Zeichen (species nach Vieta) z. B. der Buchstaben bedient, hat uns vorstehends ein System von Regeln kennen gelehrt, welche in der That den verlangten Charakter der vollkommenen Independenz unter einander haben. Diese werden wir zum Leitfaden nehmen und Operationen formal so bestimmen, dass die Resultate in die der gewöhnlichen Arithmetik übergehen, wenn an Stelle der mentalen Objecte, an denen operirt wird, solche in der Anschauung existirende Objecte getreten sind, deren gegenseitige Relationen durch gemeine Zahlen ausgedrückt werden.

It is clear that a system of such mental operations can be set up in which the objects and the operations to which they are subjected are defined sufficiently, and not more than sufficiently, but which, because it is set up without consideration of any subordinate Actual relations, remains an empty system, without any interpretation of its results and without application. In order not to fall into the abstruse, we will subject the operations with mental objects to formal rules such that they can contain in themselves as instances the Actual operations on intuitive objects and on the numbers which express their relations. Common arithmetic, which essentially operates with magnitudes of the same type, and which as arithmetica numerosa makes use of the concrete number-signs, or as arithmetica universalis or speciosa of the general signs (species, for Vieta) e.g. of letters, has taught us acquaintance with the system of rules above, which in fact have the required character of complete independence from each other. We will take these as guides and formally determine operations such that the results transform into those of the usual arithmetic, if, in place of the mental objects operated upon, objects existing in intuition are taken whose mutual relations are expressed through common numbers.

Der hierin enthaltene hodegetische Grundsatz kann als das Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze bezeichnet werden und besteht darin: Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfache Grössen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen.

The guiding principle contained herein can be referred to as the Principle of Permanence of Formal Laws and consists in the following: if two forms expressed in the general signs of arithmetica universalis are equal to one another, then they shall also remain equal to each other whenever the signs cease to signify simple magnitudes, and thus the operations also acquire some other content.

Dies Princip wird im Folgenden unsere Schritte leiten; es darf aber in seiner Allgemeinheit nicht ohne Weiteres und überall verwandt werden; wir werden es überall nur zur Definition der nothwendigen und hinreichenden Regeln, soweit diese von einander unabhängig sind, anwenden dürfen. Jedoch werden wir uns durch dasselbe nicht allzusehr beschränken lassen, namentlich die Commutativität unserer Operationen nicht unbedingt voraussetzen, da es sich als wissenschaftliche Nöthwendigkeit gezeigt hat, Operationen zu betrachten, welche allen Regeln der arithmetischen Multiplication nur mit Ausnahme jener entsprechen.

This principle will guide our steps in the following; it may not, however, be applied everywhere in its complete generality and without qualification; we will only be allowed to apply it to the definition of the necessary and sufficient rules, insofar as these are independent of one another. We will however not allow ourselves to be restricted by this principle, and in particular will not necessarily presuppose the commutativity of our operations, since it has proven to be a scientific necessity to consider operations which correspond to all the rules of arithmetical multiplication with the exception of that one.

Es sei eine Anzahl von Objecten $a, b, c, d\ldots$ gegeben, welche gewissen Verknüpfungen, deren formale Eigenschaften im Folgenden der Reihe nach festgesetzt werden, in gleicher Weise unterworfen werden sollen.

Let a number of objects $a, b, c, d\ldots$ be given, which shall all be subjected in the same way to certain operations whose formal properties will be laid down in sequence in the following.

Es bedeute $\lambda(a,b)$ eine Verknüpfung von $a$ und $b$; und etwa $c$ das Object, welches aus der vollzogenen Verknüpfung resultirt, so dass $\lambda(a,b) = c$ gesetzt werden kann. Diese Verbindung $\lambda(a,b)$ soll so beschaffen sein, dass, wenn man auf geeignete Weise das sich als Resultat ergebende Object $c$ mit $b$ thetisch verknüpft, dadurch das andere Glied der Verbindung $a$ mit Nothwendigkeit wieder erhalten wird. Bezeichnet man diese letztere Verknüpfung mit $\Theta$, so spricht $\Theta(c, b) = a$ oder $$\begin{equation} \Theta\{\lambda(a,b), b\} = a \end{equation}$$ diese Annahme in Zeichen aus und enthält zugleich eine Definition dieser thetischen Operation $\Theta$ aus jener $\lambda$, die wir als die lytische bezeichnen.

Let $\lambda(a,b)$ mean an operation of $a$ and $b$; and let $c$ be the object which results from carrying out the operation, so that $\lambda(a,b) = c$. This combination $\lambda(a,b)$ should be so constituted that, if the resulting object $c$ is thetically conjoined with $b$, the other member $a$ of the combination is of necessity obtained again. If one signifies the latter operation with $\Theta$, then $\Theta(c, b) = a$ or $$\begin{equation} \Theta\{\lambda(a,b), b\} = a \end{equation}$$ expresses this assumption in signs and at the same time contains a definition of this thetic operation $\Theta$ from that $\lambda$, which we call lytic.

Ich bemerke sogleich, dass wir in diesem §. überall die lytische und thetische Operation, auf welche Objecte sie auch angewandt seien, als möglich und eindeutig voraussetzen wollen, d.h. wenn $a, b$ gegeben sind, so soll $\Theta(a, b)$ ebenso wie $\lambda(a,b)$ nur eine einzige Bedeutung haben, so dass alle Objecte, welche etwa für das Resultat dieser Verbindungen gesetzt werden dürfen, unter sich vollkommen gleich sind, sich also, der Definition des Gleichen zufolge, überall vertreten können.

I remark immediately that we want everywhere in this §. to assume that the lytic and thetic operations, no matter what objects they are applied to, are possible and one-valued, that is, if $a$ and $b$ are given, then $\Theta(a,b)$ and likewise $\lambda(a,b)$ have only a single meaning, so that all objects which may be posited for the result of these combinations are among themselves entirely equal and can thus stand in for one another everywhere, in consequence of the definition of equality.

Man kann hieraus sogleich Folgerungen ziehen: Wäre nämlich $\lambda(a,b) = \lambda(a',b)$ ohne dass $a = a'$, so wäre auch: $$\Theta\{\lambda(a,b),b\} = \Theta\{\lambda(a',b),b\}$$ da aber $\Theta\{\lambda(a,b),b\} = a$, $\Theta\{\lambda(a',b),b\} = a'$, so ist dies unmöglich.

One can immediately draw consequences from this: namely, if it were the case that $\lambda(a,b) = \lambda(a',b)$ without it being the case that $a = a'$, then it would also be that: $$\Theta\{\lambda(a,b),b\} = \Theta\{\lambda(a',b),b\}$$ But since $\Theta\{\lambda(a,b),b\} = a$, $\Theta\{\lambda(a',b),b\} = a'$, this is impossible.

Aendert sich also $a$ in $\lambda(a,b)$ bei constantem $b$, so ändert sich nothwendig auch das Resultat der Verknüpfung.

So if the $a$ in $\lambda(a,b)$ changes while $b$ remains constant, the result of the operation necessarily changes as well.

Die Gleichung $\lambda(x,b) = a$ hat hienach nur eine Auflösung, die man findet, wenn man beide Seiten mit $b$ thetisch verknüpft: $$\Theta\{\lambda(x,b),b\} = \Theta(a,b)$$ also $x = \Theta(a,b)$, wodurch man die Identität: $$\begin{equation} \lambda\{\Theta(a,b),b\} = a \end{equation}$$ erhält. Hieraus geht weiter hervor, dass wenn $$\Theta(a,b) = \Theta(a',b)$$ auch nothwendig $a = a'$ sein muss. Denn wäre dies nicht der Fall, so hätte man aus der Gleichung $$\lambda\{\Theta(a,b),b\} = \lambda\{\Theta(a',b),b\}$$ das widersinnige Resultat $a = a'$.

The equation $\lambda(x,b) = a$ accordingly has only one solution, which one finds by thetically conjoining both sides with $b$: $$\Theta\{\lambda(x,b),b\} = \Theta(a,b)$$ Thus $x = \Theta(a,b)$, through which one finds the identity: $$\begin{equation} \lambda\{\Theta(a,b),b\} = a \end{equation}$$ Further, it follows that when $$\Theta(a,b) = \Theta(a',b)$$ it must also necessarily be that $a = a'$. For if this were not the case, one would have from the equation $$\lambda\{\Theta(a,b),b\} = \lambda\{\Theta(a',b),b\}$$ the contradictory result $a = a'$.

Aus obiger Voraussetzung, der Eindeutigkeit der lytischen und thetischen Operation folgt also, dass wenn sich in $\lambda(a,b)$ und $\Theta(a,b)$ das erste Glied ändert, während das zweite constant bleibt, sich auch gleichzeitig das Ergebniss der Verknüpfung ändert, also aus jeder der Gleichungen: $$\lambda(a,b) = \lambda(a',b), \Theta(a,b) = \Theta(a',b)$$ stets $a = a'$ geschlossen werden kann.

Thus it follows from the above assumption of the one-valuedness of the lytic and thetic operations that when in $\lambda(a,b)$ and $\Theta(a,b)$ the first term changes, while the second remains constant, the result of the operation changes at the same time; thus from each of the equations: $$\lambda(a,b) = \lambda(a',b), \Theta(a,b) = \Theta(a',b)$$ $a = a'$ can always be inferred.

Nimmt man statt der obigen Voraussetzungen an, dass die Operation $\Theta(a,b)$ eindeutig ist und die Eigenschaft hat, dass sich ihr Resultat jedesmal ändert, wenn sich ihr erstes Glied ändert, so kann man hieraus, die beiden Eigenschaften der entsprechenden lytischen $\lambda$, eindeutig zu sein und sich zu verändern, wenn sich ihr erstes Glied ändert, ebenso leicht ableiten:

If, instead of the assumptions above, one assumes that the operation $\Theta(a,b)$ is one-valued and has the property that its result always changes when its first term changes, then one can just as easily derive the two properties of the corresponding lytic operation $\lambda$—that it is one-valued, and changes when its first term changes:

Angenommen nämlich, es wäre $\lambda(a,b)$ vieldeutig, d. h. es gäbe mehrere unter einander verschiedene Objecte, welche $\lambda(a,b)$ in den Formeln vertreten könnten, so seien $c, c'$ zwei solche; dann wäre: $$\Theta\{\lambda(a,b), b\} = \Theta(c,b) = \Theta(c',b) = a.$$ Nach der Annahme, dass $\Theta(c,b) = \Theta(c',b)$ nur sein kann, wenn $c = c'$, folgt die Eindeutigkeit der $\lambda$ Operation und daraus weiter das Gesetz, dass sich $\lambda(a,b)$ jedesmal mit $a$ ändert.

Assuming then that $\lambda(a,b)$ is many-valued, i.e. that there are several distinct objects which $\lambda(a,b)$ can represent in formulas, let $c, c'$ be two such objects; then it would be that: $$\Theta\{\lambda(a,b), b\} = \Theta(c,b) = \Theta(c',b) = a.$$ By the assumption that $\Theta(c,b) = \Theta(c',b)$ can only be the case if $c = c'$, it follows that the $\lambda$ operation is one-valued, and from this further follows the law that $\lambda(a,b)$ changes with every change in $a$.

Unter Voraussetzung der Eindeutigkeit beider Operationen hat man neben $$\begin{equation} \Theta\{\lambda(a,b),b\} = a \end{equation}$$ wie schon gezeigt, die andere Gleichung: $$\begin{equation} \lambda\{\Theta(a,b),b\} = a \end{equation}$$ Wir setzen ferner die associative Eigenschaft voraus, d. h. dass: $$\begin{equation} \Theta[a, \Theta(b,c)] = \Theta[\Theta(a,b), c] \end{equation}$$ sei, wo man dann, ohne Zweideutigkeit hiefür: $$= \Theta(a,b,c)$$ schreiben darf. Dann ist: $$\begin{multline} \Theta[a, \Theta(b,c,d)] = \Theta[a,\Theta\{\Theta(b,c),d\}] \\ = \Theta[\Theta\{a, \Theta(b,c)\}, d] = \Theta[a,\Theta(b,c),d] \\ = \Theta[a,\Theta\{b,\Theta(c,d)\}] = \Theta[\Theta(a,b), \Theta(c,d)] \end{multline}$$ so dass man hiefür wiederum: $$= \Theta(a,b,c,d)$$ schreiben darf, womit man ausdrückt, dass man immer, und in ganz beliebiger Weise zwei aufeinanderfolgende Objecte paarweise thetisch zu verbinden hat; dann wieder zwei solche u. s. f. Gilt also das associative Princip bei 3 Gliedern, so gilt es auch bei 4 und überhaupt allgemein.

Under the assumption of the one-valuedness of both operations, one has besides $$\begin{equation} \Theta\{\lambda(a,b),b\} = a \end{equation}$$ as already shown, the other equation: $$\begin{equation} \lambda\{\Theta(a,b),b\} = a \end{equation}$$ We further assume the associative property, i.e. that: $$\begin{equation} \Theta[a, \Theta(b,c)] = \Theta[\Theta(a,b), c] \end{equation}$$ where one may then write, without ambiguity: $$= \Theta(a,b,c)$$ Then: $$\begin{multline} \Theta[a, \Theta(b,c,d)] = \Theta[a,\Theta\{\Theta(b,c),d\}] \\ = \Theta[\Theta\{a, \Theta(b,c)\}, d] = \Theta[a,\Theta(b,c),d] \\ = \Theta[a,\Theta\{b,\Theta(c,d)\}] = \Theta[\Theta(a,b), \Theta(c,d)] \end{multline}$$ so that one for this may again write: $$= \Theta(a,b,c,d)$$ with which one expresses that one always, and in a completely arbitrary way, thetically connects pairwise two objects following one another, then two more again; etc. If the associative principle is valid for 3 terms, it is also valid for 4 and in general.

Aus den gemachten Voraussetzungen lassen sich nun eine Reihe von wichtigen Transformationen herleiten:

A series of important transformations can be derived from the assumptions made above:

Setzt man $$x = \Theta[a,\lambda(b,c)]$$ so hat man nach (3) $$\Theta(x,c) = \Theta\{\Theta[a,\lambda(b,c)],c\} = \Theta\{a, \Theta[\lambda(b,c),c]\}$$ und daher nach (1) $$\Theta(x,c) = \Theta(a,b)$$ also $$\lambda[\Theta(x,c),c] = \lambda[\Theta(a,b),c]$$ oder nach (2) $x =$ $$\begin{equation} \Theta[a, \lambda(b,c)] = \lambda[\Theta(a,b),c] \end{equation}$$

If one sets $$x = \Theta[a,\lambda(b,c)]$$ then one has, by (3) $$\Theta(x,c) = \Theta\{\Theta[a,\lambda(b,c)],c\} = \Theta\{a, \Theta[\lambda(b,c),c]\}$$ and therefore by (1) $$\Theta(x,c) = \Theta(a,b)$$ thus $$\lambda[\Theta(x,c),c] = \lambda[\Theta(a,b),c]$$ or by (2) $x =$ $$\begin{equation} \Theta[a, \lambda(b,c)] = \lambda[\Theta(a,b),c] \end{equation}$$

Setzen wir ferner: $$x = \lambda[\lambda(a,b),c]$$ so hat man nach (1) $$\Theta(x,c) = \Theta\{\lambda[\lambda(a,b),c],c\} = \lambda(a,b)$$ also wieder nach (1) $$\Theta[\Theta(x,c),b] = a$$ oder nach (3) $$\Theta[x, \Theta(c,b)] = a$$ und somit nach (2): $x =$ $$\begin{equation} \lambda[a, \Theta(c,b)] = \lambda[\lambda(a,b), c] \end{equation}$$

If we further set: $$x = \lambda[\lambda(a,b),c]$$ then one has, by (1) $$\Theta(x,c) = \Theta\{\lambda[\lambda(a,b),c],c\} = \lambda(a,b)$$ thus again by (1) $$\Theta[\Theta(x,c),b] = a$$ or by (3) $$\Theta[x, \Theta(c,b)] = a$$ and therewith by (2): $x =$ $$\begin{equation} \lambda[a, \Theta(c,b)] = \lambda[\lambda(a,b), c] \end{equation}$$

Man hat ferner, wenn $$x = \lambda[\Theta(c,b), b]$$ gesetzt wird, nach (1) $$\Theta(x,b) = \Theta(a,c)$$ und nach (2) $$\lambda[\Theta(x,b), c] = a$$ daher nach (4) $$\lambda[\Theta(x,b), c] = \Theta[x, \lambda(b,c)] = a$$ und somit erhält man nach (2), $x =$ $$\begin{equation} \lambda[\Theta(a,c), b] = \lambda[a, \lambda(b,c)] = \Theta[a, \lambda(b,c)], \end{equation}$$ eine Gleichung, welche mit (4) zu: $$\begin{equation} \lambda[\Theta(a,c), b] = \lambda[a, \lambda(b,c)] = \Theta[a, \lambda(c,b)], \end{equation}$$ vereinigt werden kann und wo, wie in (5), die Vertauschung der Ordnung von $c$ und $b$ im mittelsten Gliede wohl zu beachten ist. —

One has further, if $$x = \lambda[\Theta(c,b), b]$$ is posited, by (1) $$\Theta(x,b) = \Theta(a,c)$$ and by (2) $$\lambda[\Theta(x,b), c] = a$$ therefore by (4) $$\lambda[\Theta(x,b), c] = \Theta[x, \lambda(b,c)] = a$$ and therewith one finds by (2), $x =$ $$\begin{equation} \lambda[\Theta(a,c), b] = \lambda[a, \lambda(b,c)] = \Theta[a, \lambda(b,c)], \end{equation}$$ an equation which can be united with (4) to: $$\begin{equation} \lambda[\Theta(a,c), b] = \lambda[a, \lambda(b,c)] = \Theta[a, \lambda(c,b)], \end{equation}$$ and where, as in (5), the exchange of the order of $c$ und $b$ in the innermost term is especially to be observed. —

Wir haben es oben als eine nothwendige Folge der vorausgesetzten Eindeutigkeit der lytischen und thetischen Verknüpfung kennen lernen, dass sich $\Theta(a,b), \lambda(a,b)$ ändern muss, wenn sich das Vorderglied $a$ ändert, während das Hinterglied $b$ constant bleibt. Wir nehmen jetzt weiter an — und nennen diese ganze Voraussetzung die der vollkommenen Eindeutigkeit —, dass auch, wenn in $\Theta(a,b)$ sich das zweite Glied ändert, während das erste unverändert bleibt, sich das Ergebniss der Verknüpfung ändere; dass man also aus $\Theta(\mu,b') = \Theta(\mu, b)$ immer auf $b=b'$ schliessen dürfe.

We have above become acquainted with the fact that $\Theta(a,b), \lambda(a,b)$ must change when the first term $a$ changes while the second term $b$ remains constant as a necessary consequence of the assumed one-valuedness of the lytic and thetic operations. We now assume — and call this entire assumption that of complete one-valuedness — that when in $\Theta(a,b)$ the second term changes, while the first remains unchanged, the result of the operation changes as well; that one may always infer $b=b'$ from $\Theta(\mu,b') = \Theta(\mu, b)$.

Eine nothwendige Folge hievon ist, dass, wenn $\lambda(a,b)=\lambda(a,b')=\mu$ also $$\Theta\{\lambda(a,b), b\} = a, \Theta\{\lambda(a, b'), b'\} = a$$ oder $$\Theta(\mu, b) = \Theta(\mu, b')$$ auch nothwendig $b=b'$ sein muss, sich also auch das Resultat der lytischen Verbindung ändert, wenn das zweite Glied ein anderes ist, während das erstere constant bleibt.

A necessary consequence of this is that when $\lambda(a,b)=\lambda(a,b')=\mu$ and so $$\Theta\{\lambda(a,b), b\} = a, \Theta\{\lambda(a, b'), b'\} = a$$ or $$\Theta(\mu, b) = \Theta(\mu, b')$$ then it must also necessarily be that $b=b'$; hence the result of the lytic operation changes as well when the second term is different while the first remains constant.

Wir nehmen nun an, dass es ein Object $n$, den Modulus der Operation gibt, welches mit jedem Object $a$ thetisch verknüpft, dasselbe wieder als Resultat ergibt, so dass: $$\begin{equation} \Theta(a,n) = a \end{equation}$$ Dann hat man nach dem associativen Princip $$\Theta\{a, \Theta(n, c)\} = \Theta\{\Theta(a,n), c\} = \Theta(a, c)$$ und nach der vorausgesetzten Eindeutigkeit $$\begin{equation} \Theta(n, c) = c \end{equation}$$ so dass die Ordnung, in der man den Modul mit dem Objecte verbindet, für das Resultat gleichgültig ist.

We now assume that there is an object $n$, the modulus of the operation, which when thetically conjoined with every object $a$ yields the same again as result, so that: $$\begin{equation} \Theta(a,n) = a \end{equation}$$ Then by the associative principle one has $$\Theta\{a, \Theta(n, c)\} = \Theta\{\Theta(a,n), c\} = \Theta(a, c)$$ and by the assumption of one-valuedness $$\begin{equation} \Theta(n, c) = c \end{equation}$$ so that the order in which one connects the modulus with the object has no effect on the result.

Ferner findet man: $$\begin{equation} \lambda(a,n) = a \end{equation}$$ denn es ist nach (1) $$\Theta\{\lambda(a,n),n\} = a$$ und nach (7) $$\lambda(a, w) = \Theta\{\lambda (a, n), n\} = a$$

Further, one finds: $$\begin{equation} \lambda(a,n) = a \end{equation}$$ for by (1), $$\Theta\{\lambda(a,n),n\} = a$$ and by (7), $$\lambda(a, w) = \Theta\{\lambda (a, n), n\} = a$$

Aus (2) erhält man ferner für $a = n$ $$\lambda[\Theta(n,b), b] = n$$ und da $\Theta(n, b) = b$ $$\begin{equation} \lambda(b, b) = n \end{equation}$$ so dass der Modul durch die lytische Verknüpfung irgend eines Objectes mit sich selbst, erhalten wird.

From (2) one furthermore finds, for $a = n$, $$\lambda[\Theta(n,b), b] = n$$ and since $\Theta(n, b) = b$, $$\begin{equation} \lambda(b, b) = n \end{equation}$$ so that the lytic operation of any object with itself yields the modulus.

Während sich $\Theta(b,n)$, $\Theta(n,b)$, $\lambda(b,n)$ einfach auf $b$ reducirten, ist dies mit $\lambda(n,b)$ nicht der Fall. Wir schreiben: $$\begin{equation} \lambda(n,b) = b_n \end{equation}$$ und nennen $b_n$ das zu $b$ inverse Object, $b$ aber das directe. Dann lässt sich zeigen, dass das zu $b_n$ inverse Object wiederum $b$ ist, also $b_n$ und $b$ in dem conträren Gegensatze des directen und inversen stehen (vergl. §. 17). Man hat nämlich aus (6) für $a = n, b = n$: $$\lambda [n, \lambda (n, c)] == \lambda[\Theta(n, c), n]$$ also da nach (8) und (9) $\lambda [\Theta (n, c), n] = \lambda (c, n) = c$ und nach (11) $\lambda[n, \lambda(n,c)] = \lambda[\Theta(n,c), n]$ ist: $$\begin{equation} (c_n)_n = c \end{equation}$$

While $\Theta(b,n)$, $\Theta(n,b)$, $\lambda(b,n)$ simply reduce to $b$, this is not the case with $\lambda(n,b)$. We write: $$\begin{equation} \lambda(n,b) = b_n \end{equation}$$ and call $b_n$ the object inverse to $b$, $b$ on the other hand the direct object. Then it can be shown that the object inverse to $b_n$ is again $b$ itself; thus $b_n$ and $b$ stand in the contrary opposition of direct and inverse (cf. §. 17). In particular, one has, from (6) for $a = n, b = n$: $$\lambda [n, \lambda (n, c)] == \lambda[\Theta(n, c), n]$$ and thus, since by (8) and (9) $\lambda [\Theta (n, c), n] = \lambda (c, n) = c$ and by (11) $\lambda[n, \lambda(n,c)] = \lambda[\Theta(n,c), n]$: $$\begin{equation} (c_n)_n = c \end{equation}$$

Durch Einfuhrung dieses Zeichens lässt sich ausserdem jede lytische Verknüpfung in eine thetische und umgekehrt verwandeln.

In addition, the introduction of this sign permits every lytic conjunction to be transformed into a thetic one, and vice versa.

Denn man hat für $b = n$ aus (4): $$\Theta[a, \lambda(n, c)] = \lambda[\Theta (a, n), c]$$ oder $$\begin{equation} \lambda(a,c) = \Theta(a, c_n) \end{equation}$$ und aus (6) für $b = n$: $$\lambda[a, \lambda(n, c)] = \lambda[\Theta(a, c), n]$$ oder $$\begin{equation} \Theta(a,c) = \lambda(a, c_n) \end{equation}$$

For one has, for $b = n$, from (4): $$\Theta[a, \lambda(n, c)] = \lambda[\Theta (a, n), c]$$ or $$\begin{equation} \lambda(a,c) = \Theta(a, c_n) \end{equation}$$ and from (6) for $b = n$: $$\lambda[a, \lambda(n, c)] = \lambda[\Theta(a, c), n]$$ or $$\begin{equation} \Theta(a,c) = \lambda(a, c_n) \end{equation}$$

Aus der Gleichung (4, 6) $$\lambda[a, \lambda(b,c)] = \Theta[a, \lambda(c, b)]$$ ergibt sich noch für $a = n$, dass $$\begin{equation} [\lambda(b, c)]_n = \lambda (c, b) \end{equation}$$ und aus (5) für $a = n$: $$\begin{equation} [\Theta(b,c)]_n = \Theta(c_n, b_n) \end{equation}$$